Streszczenie: Rachunek różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu (Fractional Calculus), rozwijany intensywnie od strony aparatu matematycznego, znalazł jak dotąd nieliczne zastosowania w elektrotechnice, a głównie w teorii obwodów elektrycznych. Klasyczne podejście do analizy układów elektrycznych i ich modelowania zwykle pomija efekty wynikające z nieidealności elementów (stratność, nieliniowość, niejednorodność). Ten fakt jak i też pojawienie się nowych elementów i urządzeń elektrotechnicznych: superkondensatorów, rezystorów z pamięcią, nazywanych „memrystorami”, czy cewek indukcyjnych z efektem wypierania prądu (ang. Inductance with a skin effect), stały się przyczyną wprowadzenia elementów niecałkowitego rzędu jako pewnego uogólnienia elementów klasycznych. Mimo że narzędzia stosowane w analizie są bardziej zaangażowane matematycznie i bardziej skomplikowane, niż w realizacji klasycznej, to jednak zastępowanie tradycyjnych modeli obwodowych przez modele wywodzące się z rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu prowadzi do wierniejszego opisu rzeczywistych elementów. Zastosowanie rachunku niecałkowitego rzędu otworzyło nowy obszar zastosowań dający możliwości przybliżenia elementów rzeczywistych w stopniu, który nie był możliwy do osiągnięcia w przypadku podejścia klasycznego. W pracy przedstawiono analizę wybranych liniowych obwodów elektrycznych z elementami niecałkowitego rzędu. W wyniku przeprowadzonych studiów literaturowych dokonano wyboru pojęć niezbędnych do analizy wybranych układów elektrycznych. Zamieszczono definicje podstawowych pochodnych niecałkowitego rzędu, funkcji specjalnych (gammy Eulera Γ(x), Mittaga-Lefflera) oraz hipergeometrycznych (Lommela i Whittakera) stosowanych do wyznaczania analitycznych postaci pochodnych niecałkowitego rzędu. Omówiono metody opisu ciągłych układów dynamicznych niecałkowitego rzędu oraz aproksymacji operatora różniczkowania niecałkowitego rzędu, tj. metodę CFE (Continued Fraction Expansion) i metodę Oustaloupa. Metody te posłużyły do sformułowania transformat Laplace’a w postaci wielomianów rzędów całkowitych wykorzystanych między innymi do analizy stanów nieustalonych. Wyznaczono analityczne postacie pochodnych Riemanna-Liouville'a i Caputo typowych sygnałów wymuszających występujących w obwodach i układach elektrycznych. Wprowadzono koncepcję elementu uogólnionego niecałkowitego rzędu oraz podano warunki zapewnienia jego spójności wymiarowej. Główny obszar badań dotyczył opisu rozważanych obwodów równaniami różniczkowymi niecałkowitego rzędu zwyczajnymi (obwody z elementami RLαCα, w tym czwórniki i filtry) oraz cząstkowymi (linia długa). Wyznaczono analityczne postaci rozwiązań takich równań oraz przeprowadzono eksperymenty numeryczny potwierdzające prawidłowość uzyskanych wyników.
Pełny tekst